למאמר המעודכן שלי, בבלוג תורה ומדע, אנא גלוש לבלוג תורה ומדע בכתובת:

http://toraumada.blogspot.co.il/2015/02/Terumah-Irrational-number-Tabernacle-rabbinical-sages.html

לפרשת תרומה

על מספרים אי-רציונאליים בפרשה ובחז"ל
 

בפרשתנו אנו קוראים על מבנה חצר המשכן. מידות חצר המשכן הן: "אֹרֶךְ הֶחָצֵר מֵאָה בָאַמָּה וְרֹחַב חֲמִשִּׁים בַּחֲמִשִּׁים, וְקֹמָה חָמֵשׁ אַמּוֹת שֵׁשׁ מָשְׁזָר וְאַדְנֵיהֶם נְחֹשֶׁת (שמות כז, יח). אורך החצר 100 אמה ורחבה 50 אמה. סה"כ שטח של 5000 אמות מרובעות (5000 = X 50  100). שטח זה נקרא בלשון חז"ל "בית סאתיים", לפי שהוא ראוי לזריעת סאתיים תבואה בלבד.

המשנה במסכת עירובין דנה, בבית סאתיים שצורתו ריבוע, כלומר, שאורכו שווה לרוחבו: "ועוד אמר רבי יהודה בן בבא: הגנה והקרפף שהן שבעים אמה ושיריים על שבעים אמה ושיריים, מוקפת גדר גבוה עשרה טפחים, מטלטלין בתוכה, ובלבד שיהא בה שוֹמֵרָה  [סוכת שומרים] או בית דירה, או שתהא סמוכה לעיר" (פרק ב משנה ה).  צלע הריבוע באורך 70 אמה ושיריים. כמה הם ה"שיריים"? לדעת רוב המפרשים (רש"י, ברטנורא) הם שני שלישי אמה. הגמרא לומדת זאת מהפסוק המתאר את מידות חצר המשכן שהבאנו לעיל: "אורך החצר מאה באמה ורחב חמישים בחמישים – אמרה תורה: טול חמישים וסבב חמישים" (עירובין כג ע"ב). כלומר, טול חמישים אמה שיש כאן, מהאורך שגדול מהרוחב, וסבב את חמישים האמה הנותרות עד שיגיעו לצורת ריבוע שצלעו שבעים אמה ושיריים.

ברם, אם נחשב את השטח של ריבוע שצלעו 70 אמות ו2/3 האמה נמצא ששטחו: 4993 ו7/9 אמה,   והרי הפרש של 6 אמות ו2/9 האמה מ-5000 אמה. ואכן בגמרא נאמר: "ר´ יהודה אומר: דבר מועט יש על שבעים אמה ושיריים ולא נתנו חכמים בו שיעור" (שם). כלומר, שהשיעור של 70ו2/3 האמה אינו מדוייק, אלא מקורב. הרמב"ם בפירושו למשניות נותן שיעור מדוייק יותר, לצלע ריבוע ששטחו 5000 אמה: 70 אמה ו5/7  האמה, שכן אם נחשב את השטח של ריבוע שצלעו 70 אמות ו5/7 האמה נקבל  ½5000

מדוע חכמינו לא נתנו לנו שיעור מדוייק לחלוטין, לצלע של ריבוע ששטחו 5000 אמה, אלא רק קירובים?

למעשה לא ניתן להגיע לקביעת גודל מדוייק לחלוטין, מכיוון שמספר זה – שורש של 5000 - הוא אי-רציונאלי. כלומר, כלומר זהו מספר שאינו שלם וגם לא ניתן להציגו כשבר, כמנה של מספרים שלמים. אם מנסים לבטא מספר אי-רציונלי בצורה עשרונית מקבלים רצף של ספרות שנמשך עד אינסוף, בלא סדירות ובלא תבנית קבועה. לדוגמא, אם ננסה לבטא את שורש 5000  בצורה עשרונית נקבל

 = 70.71067811865475244008443... 

  כלומר לעולם לא נוכל לכתוב את המספר שורש 5000 בצורה מפורשת, אלא רק אומדן של המספר !

ואכן כך כותב הרמב"ם (שם): "אבל שטח מרובע בעל זוויות ישרות, שתשבורתו [שטחו] חמשת אלפים אמה, אי אפשר לדעת צלע אותו השטח אלא בקירוב, לפי שחמשת אלפים הוא מספר שאין לו שורש, ושרשו בקירוב שבעים אמה וחמש שביעיות אמה. והעניין במספר הזה כמו שביארתי לך למעלה (פרק א משנה ה) ביחס קוטר העגול להיקפו, לפי שגם הוא אי אפשר לעולם להגיע לידיעת שורש המספר "אלצם" [מספר שאי אפשר לדייק שרשו, מעין עקשן, בלתי נשמע (ע"פ פירושו של הרב יוסף קאפח)] שלו אלא בקירוב; ואין זה מחמת חסרונינו, אלא שטבע המספר כך...".

בפרק השישי של "משנת המידות" [מכונה גם מ"ט דמידות, ומזכירים אותו רש"י, אבן עזרא, תוספות ועוד. נכתב במאות הראשונות לספירה. לא ידוע בוודאות מי חיברו], ישנה הוכחה, על ידי חישוב מסובך, שהאורך של הבריח התיכון של המשכן היה 70.7+1/120 אמות, וזהו השורש המרובע המקורב של 5000, הוא שטח חצר המשכן באמות מרובעות. בלשון החיבור:
"נמצא מקום אורך הבריח התיכון שבעים אמה ושירַיִם והוא עיקר חמשת אלפים אמה ואינו יוצא בחשבון". כלומר העיקר, בלשוננו השורש, של 5000 הוא מספר אי-רציונלי (אינו יוצא בחשבון), והסיכום:
"הא למדת מידת עיקר מן התורה"   - כלומר התורה רמזה לשורש מרובע של 5000!
ואמנם קשה לראות מהו הקשר בין אורך הבריח התיכון לשטח חצר המשכן.

ישנם עוד שני מספרים אי רציונאליים מפורסמים, בהם נעסוק בקצרה:

א. שורש 2: הגמרא במסכת סוכה אומרת: "כל אמתא בריבועא, אמתא ותרי חומשי באלכסונא" (סוכה ח, א). אורך האלכסון בריבוע שצלעו אמה, הוא    1.4 אמות

(1.4). כלל זה הוא קירוב לשיעור המדוייק של שורש 2. ואמנם כבר התוספות במקום העירו: "אין החשבון מכוון ולא דק, דאיכא טפי פורתא" (שם, ד"ה כל אמתא). כלומר, הערך המובא בגמרא לאורך האלכסון בריבוע שצלעו אמה אחת, הוא מקורב, וערכו הוא קצת גדול יותר מהערך המובא בגמרא.

גם כאן, למעשה לא ניתן להגיע לגודל מדוייק לחלוטין, מכיוון ש-שורש 2 הוא מספר אי-רציונאלי. כתיבת שורש 2 בצורת שבר עשרוני היא אינסופית, ולכן לא ניתן להגיע לשיעור מדוייק לחלוטין של ערך זה.

הערך הכי מדוייק של  שורש 2 חושב ל-137,438,953,444 מקומות אחרי הנקודה העשרונית.

ב. פאי: הגמרא במסכת עירובין אומרת: "כל שיש בהיקפו שלושה טפחים, יש בו רוחב טפח" (עירובין יד, א). כלומר היחס בין היקף עיגול לקוטרו הוא 3. ר´ יוחנן לומד זאת מפסוק בספר מלכים, המתאר את  ה"ים של שלמה" (מיכל מים גדול שעשה שלמה המלך בבית המקדש הראשון): " וַיַּעַשׂ אֶת-הַיָּם, מוּצָק:  עֶשֶׂר בָּאַמָּה מִשְּׂפָתוֹ עַד-שְׂפָתוֹ עָגֹל סָבִיב, וְחָמֵשׁ בָּאַמָּה קוֹמָתוֹ, וקוה (וְקָו) שְׁלֹשִׁים בָּאַמָּה, יָסֹב אֹתוֹ סָבִיב" (מלכים א, ז, כג). הרי שהיקף של ה"ים" היה  30 אמות וקוטרו 10 אמות. הרי שההיקף גדול פי 3 מהקוטר.

היחס בין היקף המעגל לקוטרו מסומן באות היוונית ? (פאי).  ערכו המקורב הוא: 3.14159. זהו מספר אי-רציונאלי ולכן כתיבתו בצורת שבר עשרוני היא אינסופית, ולכן לא ניתן להגיע לשיעור מדוייק לחלוטין של ערך זה.   כבר הרמב"ם ציין שמספר זה לא ניתן לחישוב מדוייק: "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצידנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שיודע" (פירוש המשניות עירובין, א, ה). בהמשך דבריו הוא קירוב מדוייק יותר ממה שהובא בגמרא, ליחס בין היקף העיגול לקוטרו: 22/7.

 כיום  הצליחו באמצעות מחשבים חזקים, לחשב את ערכו של פאי  ליותר מטריליון ספרות (1,000,000,000,000) אחרי הנקודה העשרונית !

להרחבה על דיוק פאי במקורות היהדות: http://www.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/exactpi.pdf